جواب کاردرکلاس های صفحه 143 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۴۳ حسابان یازدهم سلام! این حد از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ است و برای حل آن باید از **قضیه حد مثلثاتی** ($\mathbf{\lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{u} = ۱}$) استفاده کنیم. 💡 ### گام اول: بررسی ابهام (جایگذاری مستقیم) * **صورت**: $\lim_{x \to ۰^+} \sin ۲x = \sin(۰) = \mathbf{۰}$ * **مخرج**: $\lim_{x \to ۰^+} ۳x = ۳(۰) = \mathbf{۰}$ **نتیجه**: حد، مبهم از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ است. ### گام دوم: استفاده از قضیه حد مثلثاتی برای استفاده از قضیه، باید ضریب $x$ در مخرج (که $۳$ است) را به ضریب $x$ در صورت (که $۲$ است) مرتبط کنیم: $$\lim_{x \to ۰^+} \frac{\sin ۲x}{۳x} = \lim_{x \to ۰^+} \left(\frac{۲}{۳} \cdot \frac{\sin ۲x}{۲x}\right)$$ ### گام سوم: محاسبه حد از آنجایی که $\lim_{x \to ۰^+} \frac{\sin u}{u} = ۱$ (اگر $\mathbf{u = ۲x}$ باشد): $$\lim_{x \to ۰^+} \frac{\sin ۲x}{۳x} = \frac{۲}{۳} \lim_{x \to ۰^+} \frac{\sin ۲x}{۲x} = \frac{۲}{۳} \times ۱ = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$$ **نکته**: در این حالت، چون تابع در $x=۰$ پیوسته است، حد راست یا حد چپ تفاوتی در نتیجه ایجاد نمی‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۴۳ حسابان یازدهم سلام! این حد نیز از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ است، اما نقطه حد $x = \frac{\pi}{۴}$ است. برای استفاده از قضیه $\mathbf{\lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{u} = ۱}$ باید از **تغییر متغیر** استفاده کنیم. 💡 --- ### گام اول: بررسی ابهام (جایگذاری مستقیم) * **صورت**: $\lim_{x \to \frac{\pi}{۴}} \sin(۲x - \frac{\pi}{۲}) = \sin(۲(\frac{\pi}{۴}) - \frac{\pi}{۲}) = \sin(\frac{\pi}{۲} - \frac{\pi}{۲}) = \sin(۰) = \mathbf{۰}$ * **مخرج**: $\lim_{x \to \frac{\pi}{۴}} (۴x - \pi) = ۴(\frac{\pi}{۴}) - \pi = \pi - \pi = \mathbf{۰}$ **نتیجه**: حد، مبهم از نوع $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ است. ### گام دوم: تغییر متغیر برای تبدیل حد به $u \to ۰$، عبارت داخل سینوس را $athbf{u}$ می‌گیریم: $$\mathbf{u = ۲x - \frac{\pi}{۲}}$$ * **وقتی $\mathbf{x \to \frac{\pi}{۴}}$**: $u \to ۲(\frac{\pi}{۴}) - \frac{\pi}{۲} = \frac{\pi}{۲} - \frac{\pi}{۲} = ۰$. پس $\mathbf{u \to ۰}$. ### گام سوم: بازنویسی مخرج بر حسب $u$ باید مخرج اصلی ($۴x - \pi$) را بر حسب $u$ بازنویسی کنیم. $$u = ۲x - \frac{\pi}{۲} \implies ۲u = ۴x - \pi$$ $$\text{پس } \mathbf{۴x - \pi = ۲u}$$ ### گام چهارم: محاسبه حد جدید حد جدید بر حسب $u$: $$L = \lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{۲u}$$ $$L = \lim_{u \to ۰} \left(\frac{۱}{۲} \cdot \frac{\sin u}{u}\right)$$ با استفاده از قضیه حد مثلثاتی ($\lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{u} = ۱$): $$L = \frac{۱}{۲} \lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{u} = \frac{۱}{۲} \times ۱ = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$$ **نتیجه**: مقدار حد برابر $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ است.